Operaciones con Polinomios

¿Que son los Polinomios?

Un Polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados usando sumas, restas y multiplicaciones,...pero no divisibles.

Los exponentes solo pueden ser 0.1.2.3....,etc.

No puede tener un número infinito de términos

En conclusión, son expresiones algebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más variables y constantes vinculadas a las operaciones básicas y reciben el nombre de Polinomios.

• Cuando cuenta con 2 término, se les denomina Binomio.
• Si tiene 3 términos, recibe el nombre de Trinomio .
• Cuando cuenta con mas de 3 términos, se le llama Polinomio .Que proviene de del griego Polo = muchos, Nomio = término, o sea muchos términos.

Suma de Polinomios:
Para sumar Polinomios simplemente se junta los Términos Similares.
Dos pasos:

1. Pon juntos los términos similares.
2. Suma los términos similares.

Ejemplo:

Suma: 2x² + 6x + 5     y     3x² - 2x - 1

Junta los términos similares: 2x² + 3x²     +     6x - 2x    +     5 - 1

Suma los términos similares: (2+3)x²   +   (6-2)x   +   (3-1)

                                           = 5x² + 4x + 4

A continuación, te invito a que veas el vídeo para una mayor comprensión.

Resta de Polinomios:

Primero invierte el signo de cada término que vas a restar; es decir, cambia "+" por "-", y "-" por "+".Después resta normalmente.

Ejemplo:

(2a - 3b - c) - (5a - 6b - c)

                                       

Multiplicación de Polinomios:

• Multiplica cada término de un polinomio por cada término del polinomio
• Suma las respuestas, y simplifica si es necesario

La multiplicación de polinomios se lleva a cabo de manera similar que las anteriores, multiplicando cada término del primer polinomio por cada uno del segundo polinomio. 

(5a − 7b)(a + 3b) = (5a − 7b)a + (5a − 7b)(3b)

                            = (5a 2 − 7ab) + (15ab − 21b 2 )

                            = 5a 2 − 7ab + 15ab − 21b 2

                            = 5a 2 + 8ab − 21b 2 

División de Polinomios:

Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplos práctico:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

• A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

• A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
• Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

                         x⁵ : x² = x³

• Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

• Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

                         2x⁴ : x² = 2 x²

• Procedemos igual que antes.

                         5x³ : x² = 5 x

• Volvemos a hacer las mismas operaciones.

                         8x² : x² = 8

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³ + 2x² + 5x + 8 es el cociente.

A continuación se muestra un vídeo para la amplia comprensión.

                                         

Grado de un Polinomio:

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Según si grado de polinomios pueden ser:

TIPO	EJEMPLO
PRIMER GRADO	P(x) = 3x + 2
SEGUNDO GRADO	P(x) = 2x2 + 3x + 2
TERCER GRADO	P(x) = x3 − 2x2 + 3x + 2

TIPOS DE POLINOMIOS:

1.-Polinomio nulo:

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

                         P(x) = 0x² + 0x + 0

2.-Polinomio homogéneo:

Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

                         P(x) = 2x² + 3xy

3.-Polinomio Heterogéneo:

Es aquel polinomio en el que no todos sus términos son del mismo grado.

                         P(x) = 2x³ + 3x² − 3

4.-Polinomio completo:

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

                         P(x) = 2x³ + 3x² + 5x − 3

5.-Polinomio incompleto:

Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

                         P(x) = 2x³ + 5x − 3 

6.-Polinomio ordenado:

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

                         P(x) = 2x³ + 5x − 3 

7.-Polinomio iguales:

• Los dos polinomios tienen el mismo grado
• los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

1.  P(x) = 2x³ + 5x − 3
2. Q(x) = 5x − 3 + 2x³

8.-Polinomio Semejantes:

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma literal.

• Q(x) = 5x − 3 + 2x³
• ^{Q(x) = 3x3 + 7x − 2}