Determinante de Gauss

Instituto Patria Nueva

"Determinante de Gauss".

Matemáticas.

Marco Antonio Morales Contreras.

Jimena Sánchez López.

3er.Semestre. B

Bachiller.

Villahermosa,Tabasco.

30 de Agosto del 2017.

➤Introducción:

Carl Friedrich Gauss o Karl Friedrich fue un matemático alemán .Gauss nació el 30 de abril de 1777 en Braunschweig; a la edad de 3 años aprendió a leer y hacer cálculos aritméticos mentales con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Algunas de sus obras son: Diario científico, Polígonos regulares, Ceres, Residuos cuadráticos, etc. 

Gauss inventó diferentes métodos matemáticos, pero en esta ocasión hablaremos sobre cómo sacar el área y el perímetro mediante las formulas que desarrollo Gauss a través de su vida y que hoy en día nos facilitan su procedimiento. 

➤Desarrollo:

El método de Gauss para sacar el área de un polígono es uno de los más sencillos de usar debido a lo fácil que es de comprender.

Primero que nada tenemos que hallar la determinante:

a)    Se colocaran las coordenadas de los puntos nombrados en dirección contraria del reloj y alineados en una columna, repitiendo el primero que se ha nombrado en la parte inferior. Por ejemplo:

⟴ En la figura tenemos las coordenadas A (3, 4); B (-3, 2); 

C (8, 2); D (2,-4)  y al final repetimos A (3, 4). 

                      ➸De esta forma

   

⟴ Para encontrar el área procedemos a multiplicar en diagonal las líneas rojas tal como se explica en la imagen.

⟴ El resultado de la suma de los 3 productos se les restara la suma de los productos de la diagonal azul en el determinante. Al finalizar todas las operaciones se dividen entre 2 y obtendremos el área directa del polígono.

Perímetro:

Para encontrar la distancia de las coordenadas en la figura, se usa la siguiente fórmula:

        a) Buscaremos la distancia entre 

           A y B: tomando A(5,2) comoX₁₌5 y Y₁₌2; B(-3,4) como X₂₌-3 y Y₂₌ 4. 

Entonces nos quedaría del siguiente modo:

b) Hallaremos la distancia entre los puntos C y D:

    Tomaremos D(3,2) como  X₁₌3 y X₂₌2; C(-6,-3) como  X₂₌-6 y Y₂₌-3. 

c) Encontremos la distancia entre los puntos B y C:

    Tomaremos a C(-6,-3) como  X₁₌-6 y X₂₌-3; D(3,2) como X₂₌3 y Y₂₌2.

d) Buscaremos la distancia entre los puntos D y A:

    Tomaremos a D(3,2) como X₁₌3 y X₂₌2;  A(5,2) como X₁₌5 y Y₁₌2.

↬En conclusión, es nada más la suma de todos sus lados, es decir, dAB+dBC+dCD+dDA.

                                  =8,2492+7,6158+9,0554+4,4721

y el perímetro es: 29,3895 cm.

➤Conclusión:

Como pudimos observar, el método de Gauss es de gran utilidad para conocer el área de figuras y es un método que cualquiera puede utilizar debido a la simplicidad que conlleva su procedimiento. Anexando que su uso es muy utilizado para una gran variedad de cálculos en diferentes campos, tanto científicas como socio económicas.  

➤Referencias:

⇢https://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/gauss/gau.htm

⇢file:///C:/Users/Juan%20Manuel/Pictures/GAUSS%20ej1.pdf

⇢https://www.buscabiografias.com/biografia/verDetalle/2139/Carl%2520Gauss%2520-%2520Carl%2520Friedrich%2520Gauss

⇢http://portafoliodeevideciasraulgontru.blogspot.mx/2016/05/perimetro-y-area-de-poligonos-en-plano.html

Identidad Trigonométrica Pitagórica

↠¿Qué es una Identidad Trigonométrica?

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.

↣Las Identidades Pitagóricas son aquellas que tienen un fundamento en las funciones trigonométricas en asociación al teorema de Pitágoras. A modo que estas mismas son: Identidades Trigonométricas.

Nota: Llamando a una (identidad) a una ecuación en la que sin importar los valores que se sustituyan, por lo que el valor es exactamente el mismo en ambos lados.

Los valores con lo que se sustituyen es referente al sistema de grados:

• Radianes
• Grados

Monumento a la Revolución.

El Monumento a la Revolución es uno de los recintos históricos más importantes del país que aún conserva su estructura original y uno de los pocos monumentos del mundo que pueden ser explorados por completo: desde la cimentación hasta la linternilla (la parte más alta del edificio), este lugar esconde secretos inimaginables en sus diferentes niveles.

Clasificación de triángulos

Triángulo de Pascal o Tartaglia y su relación con el binomio de Newton.

En este blog les mencionare que es,que tiene en común, como se hace y para que sirve la pirámide de Pascal y el binomio de Newton. Podrás resolver todas las dudas y las curiosidades que se tiene de estos temas.
Binomio de Newton

¿Qué es?

Es un algoritmo que permite calcular cualquier potencia cualquiera de un binomio,para ello se emplean los coeficientes binomiales,que no son mas que una sucesión de números combinatorios.

Dato Interesante:Este teorema fue formulado en la edad media y desarrollado (alrededor de 1676) para exponentes fraccionarios por el científico inglés Isaac Newton, lo que le permitió el uso de su recién descubiertos métodos de cálculo para resolver muchos problemas difíciles.El teorema del binomio,también llamado binomio de Newton, es muy útil en varias ramas de las matemáticas,en particular en la teoría de probabilidad.

La formula de Newton nos dice:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Triangulo de Pascal

¿Qué es?

Es una disposición de número es forma de triángulo,construida de tal manera que cada elemento es la suma de los dos inmediatamente superiores a él,y donde inicialmente se coloca el número 1 en los lados exteriores.

Dato Interesante:También se le conoce como triángulo de Tartaglia en honor al matemático italiano Niccolo Fontana,aunque en sí,Tartaglia es una palabra italiana que significa tartamudo y en ese entonces Fontana recibió un gran golpe en la mandíbula que le impedía hablar bien.

Pascal ideó una manera sencilla de calcular números combinatorios

se construye de la siguiente forma:

• se ordenan por filas y de arriba a abajo.
• en el vértice se coloca un 1
• cada fila empieza y acaba en 1
• los otros números de la fila son siempre la suma de los dos que tiene justo encima

"Pautas en el Triángulo"

Diagonales:

La primera diagonal son los unos, y la siguiente son todos los números consecutivamente (1,2,3,4,etc).

La tercera diagonal son los números triangulares.

La cuarta diagonal,la cual no está marcada, son los números tetraédricos.

Sumas horizontales:

Se dobla cada vez (son las potencias de 2)

Simetría:

Es triángulo es simétrico,esto quiere decir que se ve igual desde la derecha que desde la izquierda.

Polinomios:

E triángulo de Pascal también te da los coeficientes en la expansión de un binomio:

Potencia	Expansión polinomial	Triángulo de Pascal
2	(x + 1)2 = 1x2 + 2x + 1	1, 2, 1
3	(x + 1)3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 1	1, 3, 3, 1
4	(x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1	1, 4, 6, 4, 1
	... etc ...

Las 15 primera filas:

A continuación, te presentó las primeras 15 filas.

                               1

                                        1     1
                                     1     2     1
                                  1     3     3     1
                               1     4     6     4     1
                            1     5     10    10    5     1
                         1     6     15    20    15    6     1
                      1     7     21    35    35    21    7     1
                   1     8     28    56    70    56    28    8     1
                1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
             1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
          1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1
       1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1
    1     13    78    286   715   1287  1716  1716  1287  715   286   78    13    1
 1    14     91   364   1001  2002  3003  3432  3003  2002  1001   364   91    14    1

A continuación, se presentaran vídeos en donde explican la relación 

del triángulo de pascal con el binomio de Newton ampliaran su comprensión 

con el fin de que el tema quede clara y sin duda alguna.

Operaciones con Polinomios

¿Que son los Polinomios?

Un Polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados usando sumas, restas y multiplicaciones,...pero no divisibles.

Los exponentes solo pueden ser 0.1.2.3....,etc.

No puede tener un número infinito de términos

En conclusión, son expresiones algebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más variables y constantes vinculadas a las operaciones básicas y reciben el nombre de Polinomios.

• Cuando cuenta con 2 término, se les denomina Binomio.
• Si tiene 3 términos, recibe el nombre de Trinomio .
• Cuando cuenta con mas de 3 términos, se le llama Polinomio .Que proviene de del griego Polo = muchos, Nomio = término, o sea muchos términos.

Suma de Polinomios:
Para sumar Polinomios simplemente se junta los Términos Similares.
Dos pasos:

1. Pon juntos los términos similares.
2. Suma los términos similares.

Ejemplo:

Suma: 2x² + 6x + 5     y     3x² - 2x - 1

Junta los términos similares: 2x² + 3x²     +     6x - 2x    +     5 - 1

Suma los términos similares: (2+3)x²   +   (6-2)x   +   (3-1)

                                           = 5x² + 4x + 4

A continuación, te invito a que veas el vídeo para una mayor comprensión.

Resta de Polinomios:

Primero invierte el signo de cada término que vas a restar; es decir, cambia "+" por "-", y "-" por "+".Después resta normalmente.

Ejemplo:

(2a - 3b - c) - (5a - 6b - c)

                                       

Multiplicación de Polinomios:

• Multiplica cada término de un polinomio por cada término del polinomio
• Suma las respuestas, y simplifica si es necesario

La multiplicación de polinomios se lleva a cabo de manera similar que las anteriores, multiplicando cada término del primer polinomio por cada uno del segundo polinomio. 

(5a − 7b)(a + 3b) = (5a − 7b)a + (5a − 7b)(3b)

                            = (5a 2 − 7ab) + (15ab − 21b 2 )

                            = 5a 2 − 7ab + 15ab − 21b 2

                            = 5a 2 + 8ab − 21b 2 

División de Polinomios:

Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplos práctico:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

• A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

• A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
• Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

                         x⁵ : x² = x³

• Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

• Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

                         2x⁴ : x² = 2 x²

• Procedemos igual que antes.

                         5x³ : x² = 5 x

• Volvemos a hacer las mismas operaciones.

                         8x² : x² = 8

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³ + 2x² + 5x + 8 es el cociente.

A continuación se muestra un vídeo para la amplia comprensión.

                                         

Grado de un Polinomio:

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Según si grado de polinomios pueden ser:

TIPO	EJEMPLO
PRIMER GRADO	P(x) = 3x + 2
SEGUNDO GRADO	P(x) = 2x2 + 3x + 2
TERCER GRADO	P(x) = x3 − 2x2 + 3x + 2

TIPOS DE POLINOMIOS:

1.-Polinomio nulo:

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

                         P(x) = 0x² + 0x + 0

2.-Polinomio homogéneo:

Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

                         P(x) = 2x² + 3xy

3.-Polinomio Heterogéneo:

Es aquel polinomio en el que no todos sus términos son del mismo grado.

                         P(x) = 2x³ + 3x² − 3

4.-Polinomio completo:

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

                         P(x) = 2x³ + 3x² + 5x − 3

5.-Polinomio incompleto:

Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

                         P(x) = 2x³ + 5x − 3 

6.-Polinomio ordenado:

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

                         P(x) = 2x³ + 5x − 3 

7.-Polinomio iguales:

• Los dos polinomios tienen el mismo grado
• los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

1.  P(x) = 2x³ + 5x − 3
2. Q(x) = 5x − 3 + 2x³

8.-Polinomio Semejantes:

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma literal.

• Q(x) = 5x − 3 + 2x³
• ^{Q(x) = 3x3 + 7x − 2}

Teorema Fundamental de la Aritmética.

"La Aritmética es la rama de la Matemática que se dedica a las operaciones básicas con números y sus respectivas propiedades"

Definición:

Un entero p > 1 es llamado un número primo, sí y sólo sí sus únicos divisores positivos son 1 y p, Un entero mayor que 1 que no sea primo se le llama compuesto.

                                                                                                      Ejemplo:

                                                                                        Núm. Primos:2,3,5,7,etc. (Morados)

                                                                                 Núm. Compuestos:4,6,8,9,10,etc. (Negros)

-Números Primos:

Son aquellos números que son divisibles entre sí mismos y el 1.

-Número Compuesto:

Son aquellos números que además de ser divisibles por ellos mismos y la unidad,también son divisibles por otros números.

-Divisores de un Número:

El divisor de un número es el valor que divide al número en partes exactas,es decir,que el resto sea 0.
-Máximo común divisor:
Es el número mayor por el que se pueden dividir dos o mas números.
Si se encuentran todos los factores de dos o más números y se encuentra que algunos factores son los mismos("Comunes"),entonces el mayor de estos factores es el "MCD"
-Mínimo común múltiplo:
Si tienes dos o más números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas,esos son los múltiplos comunes a los dos números.

Teorema Fundamental de la Aritmética:

Todo entero n > 1 puede ser expresado como producto de primos.Esta representación en única, excepto el orden de los factores.

Entonces,esto nos garantiza que cualquier entero n se puede escribir de forma única de la sig. manera.
 donde,
                                                                       

                                                 

Se demuestra que si un entero n esta escrito de la manera anterior,entonces el número de sus divisores positivos viene dado por:

NOTA:En el caso de que n sea negativo los resultados pueden ser similares.

Ejemplo 1:

1001 se puede escribir como producto de primos de forma única, como:

1001=7x11x13.

Ejemplo 2:

720=2^4 . 3^2 . 5

Luego el número de divisores de 720 es:

N720 = (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 30

Ejemplo 3:

24 se puede escribir como producto de primos de forma única,como:

24=2x2x2x3

o sea:

24=2^3 . 3

A continuación,te invito a que realices los siguientes ejercicios propuestos para mejorar tu rendimiento.

Ejercicio 1:Demuestre:que un número de 4 cifras es múltiplo de 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

Ejercicio 2:Si el "MCD" de dos números es 2 y su producto es 840, halle los dos números.

Ejercicio 3:Demuestre que el producto de 5 enteros consecutivos es divisible por 120.