Teorema Fundamental de la Aritmética.

"La Aritmética es la rama de la Matemática que se dedica a las operaciones básicas con números y sus respectivas propiedades"

Definición:

Un entero p > 1 es llamado un número primo, sí y sólo sí sus únicos divisores positivos son 1 y p, Un entero mayor que 1 que no sea primo se le llama compuesto.

                                                                                                      Ejemplo:

                                                                                        Núm. Primos:2,3,5,7,etc. (Morados)

                                                                                 Núm. Compuestos:4,6,8,9,10,etc. (Negros)

-Números Primos:

Son aquellos números que son divisibles entre sí mismos y el 1.

-Número Compuesto:

Son aquellos números que además de ser divisibles por ellos mismos y la unidad,también son divisibles por otros números.

-Divisores de un Número:

El divisor de un número es el valor que divide al número en partes exactas,es decir,que el resto sea 0.
-Máximo común divisor:
Es el número mayor por el que se pueden dividir dos o mas números.
Si se encuentran todos los factores de dos o más números y se encuentra que algunos factores son los mismos("Comunes"),entonces el mayor de estos factores es el "MCD"
-Mínimo común múltiplo:
Si tienes dos o más números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas,esos son los múltiplos comunes a los dos números.

Teorema Fundamental de la Aritmética:

Todo entero n > 1 puede ser expresado como producto de primos.Esta representación en única, excepto el orden de los factores.

Entonces,esto nos garantiza que cualquier entero n se puede escribir de forma única de la sig. manera.
 donde,
                                                                       

                                                 

Se demuestra que si un entero n esta escrito de la manera anterior,entonces el número de sus divisores positivos viene dado por:

NOTA:En el caso de que n sea negativo los resultados pueden ser similares.

Ejemplo 1:

1001 se puede escribir como producto de primos de forma única, como:

1001=7x11x13.

Ejemplo 2:

720=2^4 . 3^2 . 5

Luego el número de divisores de 720 es:

N720 = (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 30

Ejemplo 3:

24 se puede escribir como producto de primos de forma única,como:

24=2x2x2x3

o sea:

24=2^3 . 3

A continuación,te invito a que realices los siguientes ejercicios propuestos para mejorar tu rendimiento.

Ejercicio 1:Demuestre:que un número de 4 cifras es múltiplo de 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

Ejercicio 2:Si el "MCD" de dos números es 2 y su producto es 840, halle los dos números.

Ejercicio 3:Demuestre que el producto de 5 enteros consecutivos es divisible por 120.